Historie

Die Anfänge der Festigkeitslehre bei Galilei

Der vor 450 Jahren am 15. Februar 1564 in Pisa geborene Galileo Galilei (Bild 1) ist der herrschenden Öffentlichkeit in erster Linie durch seinen brillanten „Dialog über die beiden hauptsächlichen Weltsysteme“ (1632) bekannt. Der in italienischer Sprache geschriebene „Dialog“ rief die Inquisition auf den Plan, die seinem Verfasser seit 1633 Arrest in seiner eigenen Villa in Arcetri bei Florenz aufzwang.

Ein Dokument der Denkart der Wissenschaftlichen Revolution

Als Arretierter der Inquisition sollte Galilei 1638 seine „Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenschaften“ bei Elsevier im holländischen Leiden veröffentlichen und am 8. Januar 1642 sein Leben vollenden. Spielte Galileis „Dialog“ über das ptolemäische und kopernikanische Weltsystem eine prominente Rolle in der Ablösung des mittelalterlichen durch das neuzeitliche Weltbild, so fristeten seine „Unterredungen“ eher ein Sekundärdasein im Schattenwurf des himmelsstürmenden Dialogs über die Weltsysteme. Dabei geht es in seinen „Unterredungen“ um die erste neuzeitliche Zusammenfassung der Festigkeitslehre und Dynamik. Sie können als historisch-logische Mitte der von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) mit seiner „De revolutionibus orbium coelestium“ (1543) eingeleiteten und von Isaac Newton (1642-1726) mit seiner „Principia“ (1687) abgeschlossenen Wissenschaftlichen Revolution gelten.

Der Prozess der Wissenschaftlichen Revolution im 17. Jahrhundert war dadurch gekennzeichnet, dass mit der Entstehung der neuzeitlichen Naturwissenschaft eines Kopernikus, Galilei, Kepler Descartes und Newton die Naturwissenschaft im gesellschaftlichen Maßstab aus der Produktionssphäre trat und zu einem aparten Bereich gesellschaftlicher Tätigkeit avancierte.

Die naturwissenschaftliche Form der Analyse einfacher technischer Objekte zeigt sich in Galileis Hauptwerk „Unterredungen“ (Bild 2) darin, dass er Natur und Technik mathematisch fasst, d. h. sie als eine Welt idealer Objekte beschreibt. Wie Galilei in der Formulierung des Fallgesetzes störende Einflüsse vernachlässigt, idealisiert er konkrete technische Objekte zu theoretischen Modellen (Zugversuch, Balkenbruchproblem). Galileis Frage nach der Differenz von geometrischer und statischer Ähnlichkeit von Objekten in Natur und Technik steht im Zentrum seiner Festigkeitsbetrachtungen; sie hat ihren Ursprung in seiner Idealisierung der objektiven Realität durch die Mathematik, die ihm im Wesentlichen noch eine Lehre von den Proportionen ist.

Galileis „Unterredungen“ sind dialogisch aufgebaut. Während sechs Tagen entfaltet sich ein Gespräch zwischen Salviati (der für Galilei spricht), Sagredo (vernünftiger Laie) und Simplicio (Vertreter der aristotelischen Naturphilosophie) über die „due nuove scienze“, über zwei neue Wissenschaften:

 

• Erster Tag: Zugfestigkeit von Marmorsäulen, Seilen und Kupferdrähten; Deutung der Kohäsion; mathematische Betrachtungen; freier Fall im Vakuum und im Medium; Pendelschwingung etc.
• Zweiter Tag: Betrachtungen zur Bruchfestigkeit von Balken unterschiedlicher Gestalt, Belastung und Lagerungsbedingungen unter ähnlichkeitsmechanischen Gesichtspunkten.
• Dritter Tag: Fallgesetz
• Vierter Tag: Wurfgesetz
• Fünfter Tag: Betrachtungen über die mathematische Proportionalität
• Sechster Tag: Stoßbetrachtungen

Für die Geschichte der Festigkeitslehre sind nur die ersten beiden Tage von unmittelbarem Interesse.

Zugfestigkeit

Durch den Mund des Salviati und Sagredo lässt Galilei den Leser erfahren, welch große Bedeutung Technik als Gegenstand naturwissenschaftlicher Erkenntnis haben kann, dass sich also die Analyse der Transformation der technischen Zweck-Mittel-Beziehung in Form der Erkenntnis des Wirkungs-Ursache-Zusammenhangs der technisch gestellten Natur manifestiert:
„Salviati: Die unerschöpfliche Tätigkeit Eures berühmten Arsenals, Ihr meine Herren Venetianer, scheint mir den Denkern ein weites Feld der Spekulation darzubieten, besonders im Gebiete der Mechanik: da fortwährend Maschinen und Apparate von zahlreichen Künstlern ausgeführt werden, unter welch letzteren sich Männer von umfassender Kenntnis und von bedeutendem Scharfsinn befinden. Sagredo: Sie haben vollkommen Recht, mein Herr; und ich, der ich (von Natur) wissbegierig bin, komme häufig hierher, und die Erfahrung derer, die wir wegen ihrer hervorragenden Meisterschaft ‘die Ersten‘ [Proti] nennen, hat meinem Verständnis oft den Kausalzusammenhang wunderbarer Erscheinungen eröffnet, die zuvor für unerklärbar und unglaublich gehalten wurden: und wirklich war ich oft verwirrt und verzweifelt darüber, daß so viele Dinge der Erfahrung nicht geklärt werden konnten, Dinge, die sogar sprichwörtlich bekannt sind (…)“ [Galilei, 1638/1964, S. 3].

Galilei gründet die Festigkeitslehre auf dem Zugversuch – er ist noch heute das experimentelle Alpha und Omega dieser technikwissenschaftlichen Grundlagendisziplin. Auf Basis seiner Überlegungen zur Ermittlung der Zugfestigkeit entwickelt Galilei die erste Balkentheorie, die in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts klassische Gestalt annehmen sollte und den Maschinen- und Bauingenieuren die Dimensionierung von Konstruktionen auf wissenschaftlicher Grundlage ermöglichte.

Schon am ersten Tag seiner „Unterredungen“ deutet Galilei das Bruchproblem eines eingespannten Biegebalkens an. „Jetzt, Herr Salviati“, lässt Galilei Sagredo sagen, „erklären Sie uns die Sache, wenn Sie’s können (…)“ [Galilei, 1638/1964, S. 7]. Galilei beginnt seine Erklärung mit dem Zugversuch (Bild 3), „denn hier finden wir das erste und einfachste Prinzip, auf dem das Übrige beruht“ [Galilei, 1638/1964, S. 7].

Galilei denkt die Gewichtskraft C hinreichend groß, um den bei A befestigten Zylinder aus Holz oder anderem Material zu zerreißen. Auch für nichtfaserige Stoffe wie Stein oder Metall existiere eine Bruchfestigkeitsgrenze. Von einer Verteilung des der Gewichtskraft C entgegengesetzten Zugwiderstandes über die Querschnittsfläche ist hier nicht die Rede. Nachdem Galilei die Zugfestigkeit eines Hanfseiles, dessen Fasern nicht die Länge des Prüfkörpers erreichen, qualitativ über eine Diskussion der Seilreibung zu erfassen sucht, verirrt er sich bei der Erklärung des Zugwiderstandes von nichtfaserigen Stoffen in seitenlangen Erörterungen über das „Widerstreben der Natur, einen leeren Raum zuzulassen“ [Galilei, 1638/1964, S. 11], und über die Bindekraft der Teilchen eines solchen Körpers – aus beidem nämlich soll sich deren Zugwiderstand zusammensetzen. In diesem Zusammenhang beantwortet er die Frage nach der Reißlänge eines Kupferdrahtes sogar quantitativ.

Ohne den Wunsch des Sagredo erfüllt zu haben, das Bruchproblem des eingespannten Balkens noch am ersten Tag zu besprechen, widmet Galilei statt dessen den größten Teil seines Gesprächs der umfassenden Erörterung von mathematischen Fragen und Problemen. Der Leser der „Unterredungen“ gewinnt bei der Lektüre des ersten Tages den Eindruck, dass es Galilei dort um das Anreißen jener Fragen geht, die in den darauffolgenden Tagen en détail beantwortet werden.

 

Bruchfestigkeit von Balken

Das Bruchproblem des Kragbalkens bildet tatsächlich das Herzstück von Galileis Ausführungen am zweiten Tag seiner „Unterredungen“ (Bild 4) wie der sich herausbildenden Festigkeitslehre überhaupt.

Nachdem Galilei Betrachtungen zum Hebelgesetz angestellt hat und dort klar den Kraftzustand aus Eigengewicht von einem solchen „losgetrennt von aller Materie“ [Galilei, 1638/1964, S. 96] unterscheidet, entfaltet er das Bruchproblem des einseitig eingespannten Balkens in drei Schritten (Bild 5):

a) Der Balken zerbricht bei B, so dass B zum Stütz- und Drehpunkt der kinematischen Bruchfigur wird. Während die bei C angreifende Gewichtskraft E_B den Hebelarm BC = ℓ besitzt, wirkt der Zugwiderstand W_Z in der Einspannung am Hebelarm AB/2 = h/2, so dass der Biegebalken mechanisch durch den Winkelhebel ABC idealisiert werden kann (Bild 5a).

b) Aus dem Zugversuch (vgl. Bild 3) findet Galilei die Gleichheit der Bruchkraft T_B mit dem Zugwiderstand in der Einspannung W_Z (Bild 5b).

c) Mit W_Z = T_B folgt aus Anwendung des Hebelgesetzes für den Winkelhebel ABC (Bild 5c) die Proportion T_B : E_B = ℓ : (h/2).

Wie Galilei ausdrücklich feststellt, gelten die Schritte a) bis c) auch bei Berücksichtigung des Eigengewichts des prismatischen Kragbalkens. Dabei verliert Galilei kein Wort zum Translationsgleichgewicht; er hätte in B die zu T_B und E_B betragsmäßig äquivalenten Reaktionskräfte ansetzen müssen.

 

 

Es ist oft gefragt worden, warum Galilei die Bruchkraft W_Z = T_B im Schwerpunkt des symmetrischen Balkenquerschnitts ansetzte, und dabei die Gleichgewichtsbedingungen in Horizontal- und Vertikalrichtung ignorierte. Diese Frage lässt sich nur dann befriedigend beantworten, wenn die zentrale Bedeutung des Zugversuchs in seinem Gedankenexperiment vollständig erkannt wird. Da sich die Wissenschaftler und Techniker vor Newton eingeprägte Kräfte im Wesentlichen nur als Gewichtskräfte vorstellen konnten, ist es nicht verwunderlich, dass Galilei den Probekörper an einem festen Punkt aufgehängt dachte. Unter dem Einfluss der Schwerkraft orientiert sich dann die Längsachse des Probekörpers samt dem angehängten Prüfgewicht in Richtung des Erdmittelpunkts. Da aber in Galileis Zugversuch (Bild 3) das Prüfgewicht über einen Haken in B offensichtlich zentrisch in den zylindrischen Querschnitt eingeleitet wird und immer in Richtung des Erdmittelpunkts orientiert sein muss, fallen Wirkungslinie und Zylinderachse zusammen und damit auch der Zugwiderstand in A. Wenn man nun aber mit Galilei einen Kragträger analysiert, dessen Achse senkrecht zur Richtung der Schwerkraft orientiert ist, aber am Kragarmende mit einer Gewichtskraft E_B belastet ist, dann muss der Zugwiderstand W_Z = T_B in der Schwerachse des Balkenquerschnitts angreifen, da T_B zuvor aus einem Zugversuch ermittelt wurde (Bild 5b). Wichtig ist, dass sich Galilei beim Zugversuch die Kraft T_B nur als Gewichtskraft vorstellen kann, die am Befestigungspunkt des Querschnitts die mittige Zugbruchkraft W_Z verursacht (vgl. Bild 5b mit Bild 3). Nun dreht er den zugbeanspruchten Probekörper samt seiner in Richtung der Schwerkraft orientierten Achse gedanklich in die Horizontale, statt T_B greift aber jetzt die Gewichtskraft E_B senkrecht zur Balkenschwerachse an, welche die Zugkraft W_Z = T_B in halber Höhe des eingespannten Querschnitts AB zur Folge hat (Bilder 5a und 5c). Am Winkelhebel ABC kann Galilei das Verhältnis zwischen der Zugbruchkraft W_Z = T_B und der Gewichtskraft E_B aus dem Hebelgesetz bestimmen.

Auf der Grundlage des Basismodells für die Bruchfestigkeit von Balken (Bilder 4 und 5) entwickelt Galilei verbal Proportionen für geometrisch ähnliche Balken mit Rechteck-, Vollkreis- und Hohlkreisquerschnitten, welche sich einfach in mathematische Proportionsregeln fassen lassen. Mit der Ableitung der proportionalen Zusammenhänge für Vollkreis- und Hohlkreisquerschnitte (Bild 6) beschließt Galilei den zweiten Tag seiner „Unterredungen“.

Es klingt fast wie eine Aufforderung an nachgeborene Wissenschaftler, weiter zu forschen, wenn Galilei schreibt: „Wir haben bisher vieles betrachtet, was auf die Bruchfestigkeit der Körper Bezug hatte, indem wir die Gesetze des Zuges als bekannt voraussetzten, und so könnten wir fortfahren und immer neue Beziehungen aufdecken, deren es in der Natur unendlich viele gibt“ [Galilei, 1638/1964, S. 123].

 

Thesen

I: Obzwar Galilei in seinen „Unterredungen“ durch den Mund des Salviati sagen lässt, dass in Natur und Technik dieselben Gesetze gelten, besitzt nur seine Dynamik epochalen Charakter. Seine Festigkeitsbetrachtungen verbleiben im embryonalen Stadium, können aber dennoch als Anfänge – ja sogar als Gründungsdokument – der Festigkeitslehre gelten. Gleichwohl können sie nicht die naturwissenschaftliche Form bei der Analyse einfacher technischer Objekte abstreifen: In diesem Sinne sind Galileis Festigkeitsbetrachtungen in seinem Entwurf der klassischen Mechanik eingeschlossen.

II: Die naturwissenschaftliche Form der Analyse einfacher technischer Objekte zeigt sich bei Galilei u.a. darin, dass er Natur und Technik mathematisch fasst, d.h. als Beschreibung einer Welt idealer Objekte. Wie Galilei in der Formulierung des Fallgesetzes störende Einflüsse vernachlässigt, idealisiert er konkrete technische Objekte zu theoretischen Modellen (Zugversuch, Balkenbruchproblem).

III: Galileis Frage nach der Differenz von geometrischer und statischer Ähnlichkeit von Objekten in Natur und Technik steht im Zentrum seiner Festigkeitsbetrachtungen. Sie hat ihren Ursprung in seiner Idealisierung der objektiven Realität durch die Mathematik, die ihm im Wesentlichen noch eine Lehre von den Proportionen ist.

IV: Der Ertrag von Galileis Festigkeitsbetrachtungen besteht in der Entwicklung der Grundzüge einer ähnlichkeitsmechanisch ausgerichteten Bruchtheorie einfacher balkenförmiger Tragstrukturen. Theoriegeschichtlich können sie daher nicht als Auftakt des Entwicklungsstranges der Biegetheorie eines Euler im Rahmen der Elastizitätstheorie begriffen werden; vielmehr gründet Galilei eine Theorietradition, die insbesondere durch französische Wissenschaftler im 18. Jahrhundert vorangetrieben wurde, und in deren traglasttheoretischen Analyse von Gewölben ihren ersten Höhepunkt erreichten.

Literatur

Galilei, Galileo: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze. Leiden: Elsevier 1638.

Galilei, Galileo: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Nachdruck der von Arthur von Oettingen 1890, 1891 u. 1904 herausgegebenen Übersetzung. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1638/1964.

Hamel, Jürgen: Galilei, Galileo, in: Lexikon der bedeutenden Naturwissenschaftler, 2. Band, hrsgn. v. Dieter Hoffmann, Hubert Laitko u. Staffan Müller-Wille unter Mitarb. v. Ilse Jahn, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag 2007, S. 67-72.

Krafft, Fritz: Galilei, Galileo, in: Grosse Naturwissenschaftler. Biographisches Lexikon, hrsgn. v. Fritz Krafft, Düsseldorf: VDI-Verlag 1986, S. 132-135.

Kurrer, Karl-Eugen: Die Anfänge der Festigkeitslehre in Galileo Galileis ‘Discorsi’, in: Humanis-mus und Technik, Jahrbuch 1988, 32. Band. Berlin: Universitätsbibliothek der TU Berlin 1989, S. 33-61.

Kurrer, Karl-Eugen: Zur Frühgeschichte der Festigkeitslehre, in: Aus der Geschichte der Bautechnik, Band II, hrsgn. v. Fritz Scheidegger. Basel: Birkhäuser Verlag Basel 1992, S. 49-63.

Kurrer, Karl-Eugen: The History of the Theory of Structures. From Arch Analysis to Computational Mechanics: Berlin: Ernst & Sohn 2008, S. 260-270.

Schwartz, Joseph: Bending and confusion. The long development of bending theory and its impact on the design and construction of beams, in: Before Steel. The introduction of structural iron and its consequences, hrsgn. v. Mario Rinke u. Joseph Schwartz. Sulgen: Verlag Niggli 2010, S. 193-209.

Simonyi, Károly: Kulturgeschichte der Physik. Thun/Frankfurt a. M.: Harri Deutsch 1990, S. 195-210.

Szabó, István: Geschichte der mechanischen Prinzipien, 3. Aufl. Basel: Birkhäuser Verlag 1996, S. 351-355.

Truesdell, Clifford A.: Essays in the History of Mechanics, Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag 1968, S. 200-204.

 

Autor dieses Beitrages:

Dr.-Ing. Karl-Eugen Kurrer, Wilhelm Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Rotherstr. 21, 10245 Berlin

Chefredakteur „Stahlbau“, Editor-in-chief „Steel Construction – Design and Research“

 

Leserkommentare

1. Rolf Gerhardt | 21. März 2014
   

   Sehr schöner Artikel, Herr Dr. Kurrer, sehr schön!
   Werde jetzt doch glatt noch einmal in “The History of the Theory of Structures” schmökern!

2. Leonid Bussler | 28. Juni 2014
   

   Es ist sehr gut, Herr Kurrer, dass Sie die Bauingenieure an die Anfänge der Festigkeitslehre von Galilei erinnern. Ja sicher können wir viele Fragen zu der Berechnung stellen. Aber die Annahmen von Galilei sind doch hervorragend und funktionieren in der Ingenieurpraxis bis heute! Nehmen wir nur die Einführung der einachsigen Zugfestigkeit fct in die Bemessung der Betonbauteilen nach EC2. Und man kann nach heutigem Wissen die Lösung von Galilei immer noch ergänzen!
   Zum Beispiel: die Rissbildung in der Zugzone des Betonbalkens verschiebt die neutrale Achse der Verformungen in die elastische Druckzone und zugleich wachsen die elastische Zugspannungen bis zum Grenzwert fct um den Drehpunkt B (s. Bild 5). Aus dem Gleichgewicht Mel = Mhalt findet man den unbekannten Abstand der Zugkraft:
   xi = (I/A)0,5 als Trägheitsradius. Dies ermöglicht für den beliebigen Querschnitt die maximale Betonplastizität abzuschätzen (s. auch Bautechnik 85 (2008), Heft 2, S.142 ).

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